2.5线性独立

1. 线性独立⚓

有时向量集的span比你认为的向量的个数要小，比如两个在同一条直线上的向量，或者三个在同一平面上的向量。这意味着至少有一个向量是多余的，它们可以被移除而不影响 span。我们称其为线性依赖或线性相关。

\[ x_1 v_1 + x_2 v_2 + \ldots + x_k v_k \\ 如果向量方程只有平凡解，即 x_1=x_2=\ldots=x_k=0，那么 \\ 向量集\{v_1,v_2,\ldots,v_k\} 是线性独立的。 \]

相反，如果存在所有的 x 不全为 0 的解，称作 线性依赖关系（linear dependence relation） 或 线性依赖方程（equation of linear dependence）。

下面的表述等价：

$$ 如果向量集 {v1, v2, . . . , vk} 有且仅有平凡解，那么它是线性独立的。\

如果矩阵方程 Ax = 0 有且仅有平凡解，那么它是线性独立的。\

A = \begin{bmatrix} | & | & & | \ v_{1} & v_{2} & \ldots & v_{k} \ | & | & & | \ \end{bmatrix}\ 当且仅当每列都有一个秩时成立。 $$

注意，线性独立或线性依赖是对于一组向量这个整体来说的。

1.1 线性独立的一些事实⚓

宽矩阵（列比行多的矩阵）自动是线性依赖的。例如， $R^n$ 中的四个向量自动线性独立。
两个向量当且仅当共线时才是线性依赖的。
任何包含零向量的向量集都是线性依赖的。
如果向量集 {v1, v2, . . . , vk} 是线性依赖的，那么子集也是线性依赖的。

2. 线性独立的判断标准⚓

定理1：当且仅当向量集 {v1, v2, . . . , vk} 中的一个向量位于其他向量组成的span中，这个向量集是线性相关的。

Warning

在线性依赖的向量集中，并不是任意的 v_j 都位于其他向量组成的向量集中，而是 至少一个向量。

定理2：当且仅当向量集 ${v1, v2, . . . , v_k}$ 中对于每个 j，向量 $v_j$ 都不在 $span\{v1, v2, . . . , v_{j-1}\}$ 中，这个向量集是线性独立的。同样的表述：如果你一次添加了一个向量到向量集中，并且每次你添加向量之后向量集的 span 变大了，那么你的向量集是线性独立的。

3. 线性独立和自由变量⚓

行简化阶梯形式的矩阵中，秩列是线性独立的，其他列是线性相关的。

使用行约减得到行简化阶梯矩阵是有必要的，这可以帮助我们找到列秩，但是行简化矩阵的列span 通常不等于原矩阵的列span：我们必须使用原矩阵的列秩。也就是说，通过行约减找到哪些列是秩列，然后应用到原矩阵上面得到原矩阵的线性独立span。

$$ 设 d 为矩阵的列秩数量：\ A = \begin{bmatrix} | & | & & | \ v_{1} & v_{2} & \ldots & v_{k} \ | & | & & | \ \end{bmatrix}\

若 d=1,则 span{v1, v2, . . . , v_k} 是一条线；\
若 d=2,则 span{v1, v2, . . . , v_k} 是一个面； \
若 d=3,则 span{v1, v2, . . . , v_k} 是一个3维空间；\ \ldots \

d 叫作维度 $$