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1. Row Reduction⚓

1.1 消除法⚓

  • 倍数伸缩

  • 替换

  • 交换

就是通过变换方程组来达到消元的目的从而得到方程的解。

1.1.1 增广矩阵和行操作⚓

把方程组的系数和等号右边的常数提取出来变成 参数化矩阵，在矩阵中应用上面的三种行变换求解，简化操作。

1.1.2 梯形矩阵⚓

矩阵为行阶梯形式的定义：

  1. 所有的零行都位于底部（不一定有全零行）

  2. 每一行的第一个非零项（pivot，秩）位于上一行非零项的右边（注意，没说必须相错一位）

  3. 每一行的第一个非零项的下方的元素都是零

行简化阶梯形式形式 reduced row echelon form（也可以没有任何 秩）：

  1. 每个秩都为 1

  2. 每个秩都是所在列的唯一一个非零项

1.2 行降阶算法⚓

每一个矩阵都行等价于一个且只有一个降阶行梯队形式的矩阵。

行降阶算法：

  1. 交换第一个非零项在最左边的那行到第一行（如果有必要的话）

  2. 伸缩变换第一行使其第一项变为 1

  3. 使用行替换把第一列秩下面的项全部变为0

  4. 对第二行重复第1.步，不过是把第一个非零项在左边数第二个的那行交换到第而行

  5. 重复对所有行完成上述变换后，使用行替换将所有秩的上方所有的项全部变为0

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & * & 0 \\ 0 & 1 & * & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \]

1.2.1 线性方程组的增广矩阵的解⚓

根据降阶梯形矩阵的形式可以看出方程的解对应三种情况： - 最后一列是秩列：无解 - 除了最后一列都是秩列：唯一解 - 最后一列和有些列都不是秩列：有自由变量，无穷解。