2.4解集
1. 齐次系统⚓
\[
Ax=0
\]
齐次方程总有一个零解 x = 0。其他非零解也叫作非平凡解。
齐次方程的解是一个 span。
1.1 参数化向量形式（齐次情况）⚓
设 A 为一个 m×n 的矩阵。假设齐次方程 Ax=0 中的自由变量是 x3, x6 和 x8。
- 找出 A 的行阶梯形式。
- 写出解集的参数形式，包括冗余方程 x3=x3，x6=x6，x8=x8。按照顺序给出所有 xi 的方程。
- 通过将 x3, x6 和 x8 的系数变成向量 v3, v6 和 v8，从这些方程中得到一个单一的向量方程。
那么 Ax=0 的解将被表示为以下形式： x = x3v3 + x6v6 + x8v8，其中 v3，v6，v8 是 Rn 中的某些向量， x3，x6，x8 是任意标量。
这被称为解的参数化向量形式（parametric vector form）。 在这种情况下，解集可以写成 Span{v3, v6, v8} 的形式。
自由变量的数量就是齐次方程组解集的维度。
例子：
\[
A = \begin{bmatrix}
1 & -1 & 2 \\
-2 & 2 & 4 \\
\end{bmatrix}
\]
对于 A, 求解集 \(Ax = 0\)
约减后：
\[
A =
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\]
则
\[
\left\{
\begin{aligned}
x1&=x2 - 2x3\\
x2&=x2\\
x3&=\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x3\\
\end{aligned}
\right.
\]
\[
x=\begin{bmatrix}x1\\ x2\\ x3\end{bmatrix} = x2\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 0\end{bmatrix} + x3\begin{bmatrix}-2\\ 0\\ 1\end{bmatrix}
\]
2. 非齐次系统⚓
\[
Ax=b, b \neq 0
\]
特解（particular solution）是指满足给定非零右侧向量 b 的一个特定解。
非齐次方程组的参数向量形式就是齐次方程组的参数向量形式加上一个特解。
3. 解集和列span⚓
- 解集（solution set）: 对于固定的 b，解集是所有满足 Ax=b 的 x 集合
- 若 b = 0, 解集是一个 span；若 b ≠ 0 且 Ax=b 是一致的, 解集是一个span 的平移
- 解集是 \(R^n\) 的子集
- 解集通过解方程组来计算得到: 通常使用行约减找到参数向量方程形式
- 列span（span of the columns of A）: 是令 Ax=b 一致的所有 b 的集合
- 总是一个span
- 是 R^m 的子集
- 不能通过解方程组来计算得到: 与行约减无关
其实 列span 就是线性方程组中 b 的集合，就是对矩阵 A 的加权伸缩集合。