1. 浮点数⚓

1.1 为什么负数要用补码表示⚓

对于 int 类型的数字 1 的二进制数表示如下：

补码就是把正数的二进制全部取反再加 1：

假设不用补码的方式来表示负数，而只是把最高位的符号标志位变为 1 表示负数：

可以看到，如果负数不是使用补码的方式表示，则在做基本对加减法运算的时候，还需要多一步操作来判断是否为负数，如果为负数，还得把加法反转成减法，或者把减法反转成加法。

加减法运算在计算机里是很常使用的，所以为了性能考虑，应该要尽量简化这个运算过程。

而用了补码的表示方式，对于负数的加减法操作，实际上是和正数加减法操作一样的。

整数部分使用除 2 取余法，小数部分使用乘 2 取整法：

但是，并不是所有小数都可以用二进制表示，前面提到的 0.625 小数是一个特例，刚好通过乘 2 取整法的方式完整的转换成二进制。

由于计算机的资源是有限的，所以是没办法用二进制精确的表示 0.1，只能用「近似值」来表示，就是在有限的精度情况下，最大化接近 0.1 的二进制数，于是就会造成精度缺失的情况。

小数点前面的指数幂是正数，小数点后面的指数幂是负数。

计算机使用科学记数法来存储小数。

如果二进制要用到科学记数法，同时要规范化，那么不仅要保证基数为 2，还要保证小数点左侧只有 1 位，而且必须为 1。

所以通常将 1000.101 这种二进制数，规格化表示成 1.000101 x 2^3：

符号位：表示数字是正数还是负数，为 0 表示正数，为 1 表示负数；
指数位：指定了小数点在数据中的位置，指数可以是负数，也可以是正数，指数位的长度越长则数值的表达范围就越大；
尾数位：小数点右侧的数字，也就是小数部分，比如二进制 1.0011 x 2^(-2)，尾数部分就是 0011，而且尾数的长度决定了这个数的精度，因此如果要表示精度更高的小数，则就要提高尾数位的长度；

float 中的「指数位」就跟这里移动的位数有关系，把移动的位数再加上「偏移量」，float 的话偏移量是 127，相加后就是指数位的值了，即指数位这 8 位存的是 10000010（十进制 130），因此你可以认为「指数位」相当于指明了小数点在数据中的位置。

在算指数的时候，为什么要加上偏移量?

因为指数是有符号的整数，而有符号整数的计算是比无符号整数麻烦的，所以为了减少不必要的麻烦，在实际存储指数的时候，需要把指数转换成无符号整数。而当我们需要计算实际的十进制数的时候，再把指数减去「偏移量」即可。

float 的指数部分是 8 位，IEEE 标准规定单精度浮点的指数取值范围是 -126 ~ +127，于是为了把指数转换成无符号整数，就要加个偏移量，比如 float 的指数偏移量是 127，这样指数就不会出现负数了。

在从 float 的二进制浮点数转换成十进制时，要考虑到这个隐含的 1，转换公式如下：

二进制只能精准表达 2 除尽的数字 1/2, 1/4, 1/8，但是对于 0.1(1/10) 和 0.2(1/5)，在二进制中都无法精准表示时，需要根据精度舍入。