2.3矩阵方程组
1. 矩阵方程组⚓
简洁的方式表达线性方程组：
\[
Ax = b
\]
A 是一个 m × n 的矩阵，m 行 n 列。 x 是 n 维向量（系数 x1,x2,...,xn是未知数）， b 是 m 维向量。
$$
Ax = \begin{bmatrix} v_{11} & v_{12} & \ldots & v_{1n} \ v_{21} & v_{22} & \ldots & v_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ v_{m1} & v_{m2} & \ldots & v_{mn} \ \end{bmatrix}
\[\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n \\
\end{bmatrix}
=
x_1 v_1+ x_2 v_2 + \ldots + x_n v_n
=
\begin{bmatrix}
x_1 * v_{11} + x_2 *v_{12} + \ldots x_n * v_{1n} \\
x_1 * v_{21} + x_2 *v_{22} + \ldots x_n * v_{2n} \\
\vdots \\
x_1 * v_{m1} + x_2 *v_{m2} + \ldots x_n * v_{mn} \\
\end{bmatrix}\]
$$
1.1 性质⚓
对于任意的向量 u 和 v，
\[
A(u+v) = Au + Av \\
A(cu) = cAu \\
\]
1.2 方程的解何时存在⚓
下面三个条件等价：
- 对于所有的 b (b 属于 R^m), Ax=b 有一个解
- A 的列所组成的 span 是 R^m 所有组合
- A 在每一行都有一个秩