2.2向量方程组

Vector Equations and Spans

1. 向量方程组

向量方程组是一个涉及一系列可能系数未知的向量的线性组合方程。

\[ x_1 v_1+x_2v_2+···+x_n v_n=b \]

$$ x \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 6 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} -1 \ -2 \ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \ 6 \ 13 \end{bmatrix}\ 化简得 \begin{bmatrix} x-y \ 2x-2y \ 6x-y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \ 6 \ 13 \end{bmatrix}\

线性方程组： \left{ \begin{align} x − y &= 8 \ 2x − 2y &= 16 \ 6x − y &= 3 \ \end{align} \right. $$

向量方程与参数矩阵有着同样的解。

现在我们有三种方法来表示一个线性系统：

$$ 1.线性方程组: \left{ \begin{align} x_1 − x_2 &= 8 \ 2x_1 − 2x_2 &= 16 \ \end{align} \right. \

2.参数化矩阵: \begin{bmatrix} 1 & -1 | &8 \ 2 & -2 | &16 \ \end{bmatrix} \

3.向量方程: \begin{align} x_1 \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} -1 \ -2 \ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \ 16 \ \end{bmatrix} \end{align} $$

2. 向量空间的生成

Span 是指由给定向量组成的所有线性组合所构成的向量空间。简而言之，Span 是一组向量所张成的所有可能的线性组合。

\[ Span\{v_1,v_2,...,v_n\} = \{x_1 v_1 + x_2 v_2 + \ldots + x_n v_n | x_1,x_2,\ldots,x_n \ in \ R \} \]

Span 包含了所有可能的线性组合，因此它包含了通过标量乘法和向量加法可以从给定向量集合中生成的所有向量。Span 通常表示向量空间的一个重要属性，用于描述向量集合所张成的空间维度和性质。